Advanced Key Concepts in Calculus
神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁：本頁不是教科書，不是推導演算，而是以類似的生活例子，解說抽象 的概念，從而達到會應用微積分的目的。
符號意義：
統雄快訣
延伸閱讀
進階議題
警示訊息
進階：超越（transcendental）函數
在微積分基礎篇中，討論的都是「代數函數」（與其對應的幾何觀念），亦即以加、減、乘、除、乘冪、開方為函數呈現方式的問題。
超越「代數函數」的函數問題，就稱為「超越函數」，包括：三角函數、對數與指數函數、雙曲函數、多變項函數、極座標函數，與其他更多可能發展的形式。
對以統計為主軸的本系列講義而言，本篇主題可以全部列為「進階」。但如果要澈底思考人類行為的非線性現象（指數函數），與建構更完整具備基礎性的「第3類知識」，三角函數與其更進階的雙曲函數，實扮演更關鍵的角色。
三角函數
Trigonometric Functions
觀念與計算斜率方法與上同，重點在：
幾何解：http://www.themathpage.com/atrig/sum-proof.htm
微分解：http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma006.pdf
Java示例：http://www.ies.co.jp/math/java/trig/kahote/kahote.html
對數與指數函數
對數與指數函數是以漸進的方式，討論以下3種函數的關係：倒數函數（Reciprocal Function或 Multiplicative inverse）、對數函數（Logarithmic Function）與指數函數（Exponential Function）。
倒數函數 Reciprocal Functions
以下為倒數函數：
其函數圖形如下：
如果導數為倒數函數，按照指數規則，無法求其反導數，因其分母將為0。
微積分第一基本定理 Fundamental theorem of calculus, First part
故，欲求倒數函數之反導數，必須應用微積分第一基本定理 Fundamental theorem of calculus, First part
即：對反導數微分，得導數；(緣於，對導數積分，得反導數)。
其中定積分的上限設為 x，為了避免混淆，所以導數設為 f(t)，而 f(x) 即導數 =
自然對數函數 Natural Logarithmic Functions
當倒數函數之 X>0 侍，定義「自然對數函數」是一個特殊的人為定積分函數，可取得導數等於 1/x 之反導數，也就是處理斜率以 1/x 方式漸增的現象。
對數函數可能通常以時間為橫軸，故常以 t (time) 為變項符號。
其函數圖形如下：
自然對數的底數e The Number e
e 是什麼意思？
當 ln x = 1 時，x ≒ 2.718 ，我們令其值為 e 。且 ln x = 2 時，x ≒ e2 ...同理類推。
e 的值：
同時， e 正好滿足以下的極限：
同理，e 也滿足以下的極限：
，x
= e對數計算規則
自然指數函數 Natural Exponential Functions
定義「自然指數函數」是「自然對數函數」的反函數。
所以，指數函數與對數函數互為反函數：
兩者函數關係圖形如下，上方為 Y = ex ：
指數函數與對數函數兩者的反函數關係：
一般底數的指數
指數函數最重要的性質之一，就是以任意正數 a 為底的指數，都可以用自然指數表示。亦即，所有指數函數，皆可以標準化為自然指數函數而更易於分析。
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指數函數的應用，常見者有「指數成長模式」和「供需成長模式」。
指數成長模式 Exponential Growth
供需成長模式 Logistic Growth
是各種S-型成長模型的基礎模型。
這項定義公式有點難懂，其實是由對「勝算比(odds ratio 簡稱 odds)」取對數，再展開、移項而得的。
本項模式原始是從研究人口 (population) 而來，後來延伸到生態、醫藥及其他方面的應用。
Logistic一詞一般譯為「供需」，依據發明者Pierre François Verhulst解說，應有「承載」的意義，
其標準化函數圖形（以 -6 < t < 6 區間為例）如下：
1
e-t 為與 et
以 Y 軸對稱的曲線，
因 e-t > 0，故 0 < P(t)
< 1
當 t = 0 時， e-t = 1 ，故 P(t) = 0.5
左側 t 愈小時， e-t 愈大、其倒數 P(t) 愈小；右側則反之。
Logistic Growth
在統計上的應用
常態分配的積分，亦即其PCF，會形成 Logistic Growth 曲線。
Logistic 迴歸/對數迴歸：當自變項為類別資料，尤其是二元資料時相關理論的迴歸分析方法。
雙曲函數 Hyperbolic Functions
雙曲函數處理雙曲線（x2 - y2 = 1) 的衍生問題，所以也叫圓函數(Circular Functions)，呈現方式類似三角函數。曲線上的點，定義由雙曲正弦函數「sinh a」和雙曲餘弦函數「cosh a」表示（如下圖），從它們可以導出雙曲正切函數「tanh」等等。其中的推導也類似於三角函數的推導。雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數，例如雙曲正弦函數的反函數是「arsinh」（也叫做「arcsinh」或「asinh」），以此類推。雙曲函數可以描述許多統計曲線，其實是澈底研究行為統計的基礎。
雙曲函數在應用上可以用指數函數表示，因 ex 正好為 sinh x 與 cosh x 之和。
其定義公式如下：
sinh x 與 cosh x 與指數函數關係的圖形如下：
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cosh x 即 ex 與 e-x 和之平均。 |
sinh x 即 ex 與 e-x 差之一半。 |
6種雙曲函數的圖形如下：
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偏微分
Partial Derivative 與多變項模式
以上都是「常微分」亦即只有1個自變項；另有「偏微分」，即有2個以上自變項，而分析其中只有部分變項變動的情形，而以
fx(對x偏微)、或以 
（Rounded d）代替d表示偏導數。而對所有多變項微分，就是全（Total）微分。
偏微分只是把微分程序分階段進行，對某1變項微分時，就把其他變項視為常數。
譬如：對以下函數偏微分：
f(x,y)=x + y
對 x 偏微分即：
fx(x,y)=1 + y
理由：指數規則 f'(x)=x =1
同理：fy(x,y)=x +1
教科書為了交代仔細，寫得對初學者可能比較難懂，但結果和我的示範完全一樣。
偏微分在計算上較為繁複，但在概念上並無特殊之處。
我寫這一段，是因為我看過一位國際院士級的經濟大師，寫一篇文章盛讚某一經濟理論使用了偏微分。他的發言應也代表了同級「國際院士級的經濟大師」對微積分的認識。
多變項模式在自然、生理、行為上是常見的現象，偏微分在研究工作層次上，其實是基本能力。
這也印證我的觀察：在「社會相信」「集體行為」作用下，當前投入「人文社會行為研究」的人士，有相當比例並不是「對人文社會行為研究有興趣」，而是「對數學、計量方法沒興趣」。不論是否國際級、大師級，都是一樣。
但人類行為研究的計量方法，其實比自然、生理研究還需要深入。所以，我主張：所有「人文社會行為研究」的基礎理論必須重新探討、重新確認。
深入思考：微積分與行為研究-以經濟學為例
在知識光譜中，「物理知識-微積分」「生理知識-統計」均已有相當健全的基礎理論與計量方法，但「第3類知識：人類行為知識」呢？
屬於物理測量工具的微積分，如果直接拿來測量人類行為，你有什麼看法？
如各種經濟指標多屬於指數成長模式，其基本型為：
物理環境可能存在 e 的條件，亦即在無限期數內，每期有自然的、規則性指數 β 比例的變動，如冷卻現象。
即使將基本模式複雜化，還是不能違背前提。
但人類行為呢？
統雄老師建議：在不考慮生息作用與意識型態作用，只觀察單一群體時，較佳的(即尚不是最佳的，統雄老師仍在尋找最佳者）一般取用基礎模式是：
y = tanh αx
x: 時間軸
α: 是「對新事物需求的2群人數分配」與「社會相信程度」的互動參數
而完整的思考，就是統雄老師發展中的 TX Adoption Modeling。
自我啟發
非常淺顯的微積分動態學習網站，可以玩一玩。
數學名詞與符號源起（Earliest
Known Uses of Some of the Words of Mathematics）：版主是一位高中老師，證明對知識的熱情，是不受社會形象影響的。
統雄數學樂學/統計神掌易經筋-問卷
