Core Concepts & Practice in Calculus_2
微積分是一種思想過程
神掌打通任督二脈‧易筋經以簡馭繁：本頁不是教科書，不是推導演算，而是以類似的生活例子，解說抽象的概念，從而達到會應用微積分的目的。
符號意義：
統雄快訣
延伸閱讀
進階議題
警示訊息
先讀：微積分神掌易筋經
90分鐘變牛頓！
什麼是思想：知識產生的過程
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牛頓手繪的微分圖解，或許可以誘發一種貫古今的幽情。 |
你作的「變牛頓」測驗，算來簡單，看
來平淡無奇。卻是改變人類歷史、奠定現代科學基礎、且聯合兩代曠世思想家：伽利略和牛頓，才共同革命、創新、實驗、印證出來的偉大知識！統雄老師在這裡教的不僅是微積分，而是啟發什麼是伽利略和牛頓的思想。
思想就是追求產生科學知識的過程，包括 2 主要部分：第一、建構基礎理論；第二、收集資料以印證理論的實驗方法與計量方法。
伽利略以滾球實驗提出了「地球重力存在」的基礎理論與實驗方法。
牛頓發明微積分的著作《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica,簡稱 Principia)不是我們習慣中的數學教科書，只有公式與運算，沒有問題。他是為了解釋、證明、預測重力現象，而發明微積分的計量方法，是為了解決問題，而設計分析工具。
但我們的教學、考試制度，只考我們牛頓的結果，而沒有教牛頓的想法。
所以，統雄老師在這裡強調的不是計算技巧，而是提醒為解決問題、探索知識，而發展計量方法。
基礎知識 VS. 應用知識 / 創新知識 VS. 演化知識
請問：為什麼滾球改變了人類？
伽利略的滾球，啟發了牛頓對地球重力 s=1/2gt2 的證明，進而擴充了「萬有引力的存在」與建立了力學 3 定律與古典物理體系-包括著名的 f=ma。當前一切在地球上，人類可知覺感受的科技文明，幾乎全部都是牛頓知識的應用。一直到愛因斯坦的 E=mc2，再突破可知覺感受的框架。
偉大知識不在繁複，而在思想過程。基礎知識在形式上，反而相對簡單。
當你會算二次微分的時候， 你的能力就和伽利略、牛頓、愛因斯坦一樣…
--伽利略、牛頓、愛因斯坦的改變歷史、創新性知識貢獻，都只是2次曲線問題。
--在基礎知識上所發展應用，反而可能有多次方與複雜的曲線。
基礎知識與應用知識是不同的貢獻，前者通常是必須突破當代社會相信困境，與眾不同的真正「創新知識」，而後者可稱為「演化型(Evolutionary) 理論」。如果基礎理論知識不正確，其上所有的演化理論都值得推敲。
請問： 你分得清楚真正的創新型理論，與演化型理論了嗎？
許多複雜的函數若一一從基本公式展開，工程十分浩大，所以許多數學家發展了許多簡化的公式，積分就有近百條。通常教科書都會附錄「積分表」以供查表應用。
對數學家而言，數學本身是目的，所以重計算。
對一般人，數學是工具。不必背公式、會查表就好。
但必須有「學習、好問」的動機與熱忱、瞭解計量的原理，才能快樂的解決問題。
微積分是快樂的、解決問題的思想過程
；但我們的教育（考試）制度卻把它變成痛苦的背公式和複雜計算！
什麼是知識光譜？
「知識光譜」有如光譜，可分3類：「物理-生理-人類行為」知識，因其觀察對象與可預測程度不同，而方向有所區隔。然其間連通、繼承、與變化發展之元素，即為計量方法。
微積分是第1類知識的思想與計量方法
統雄老師一直強調：微積分是計量方法的一種，且是「知識光譜」上解決物理問題「第1類知識」的思想過程。
微積分可以計量、可以分析預測的對象，在始祖們不自覺下，其實必須限定具備反身性、等加性，經常是人類可知覺範圍內的物理問題，也就是「第1類知識」的問題。
統計不是狹義數學‧是第2類知識的思想與計量方法
統計的始祖們發現，微積分無法解決非物理的問題，領悟到不同的知識類型，應有不同的計量方法。
統計的推理方式和人類直覺、微積分的正向比較方式相反，是一種逆向的辯證方式；但計量方法有所繼承、與相通之處，擅長的是處理具備常態分配性質的對象，如生物、生命現象問題，亦即「第2類知識」的問題。
統計的許多原理，如機率分配、變異量…等，就基於面積（積分）的比較。故統計對微積分是既繼承、更反動。
TX取用模式可能是第3類知識的思想與計量方法
但人類行為並不具備反身性、等加性，也不具備常態分配性，故統雄老師建議應積極探索人類行為具備「TX取用模式(TX Adoption Model)」性質的「第3類知識」，與前2類知識，共同形成知識光譜。
TX取用模式已經應用展示在： Google 排行榜實驗、臺灣選舉行為長期實驗、接龍實驗…等。
再想一想：什麼是框架知識
知識光譜是與「框架知識」相對的。
我們在「變牛頓」活動中所求的重力常數 g，其實只在地球上是常數，如果移到其他星球、時空，並不會是相同的常數。這種只在地球上、在一定框架內才成立的知識，就是「框架知識」。
牛頓所建構的古典物理體系，就是當前最大的框架知識，規範了地球上人類一般能夠感知的所有物理現象。
一旦跳脫了地球這個框架，連以上距離函數中的「時間」意義，都可能和人類一貫的感受不同。
現代進行中的物理觀念，定義時間是相對於空間運動而存在，而第四空間就是「空時(spacetime)」，且「重力-空間-時間-速度」是相互影響的，所以以上距離函數中的「重力」與「時間」並非彼此獨立的，亦即中華古代「天上一日、地上千年」之說，不完全是神話，而是理論上的相對事實。
我們對知識的認識容易受到生活框架中，所能夠觀察體會到經驗的限制。這個例子所討論的，還是地球上最一致、最簡單的物理現象。更複雜的生命現象、人類行為現象，人類的認知將更容易限於更窄小的框架中。
我們應該警覺「框架知識」的事實，這也是統雄老師積極建議「知識光譜」的知識論、追求「人類行為的基礎知識」，以及從「多元學習‧獨立好問」出發的原因。
自我啟發
非常淺顯的微積分動態學習網站，可以玩一玩。
數學名詞與符號源起（Earliest
Known Uses of Some of the Words of Mathematics）：版主是一位高中老師，證明對知識的熱情，是不受社會形象影響的。
統雄數學樂學/統計神掌易經筋-問卷
